KIỂM TRA TOÁN 10

bùi sang thọ | 23.3.20 | |

Thời gian làm bài: 90:00

Câu 1. Một bình đựng $4$ viên bi đỏ khác nhau và $3$ viên bi xanh khác nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách lấy ra $2$ viên bi từ bình đó?
A. $18$.
B. $21$.
C. $42$.
D. $10$.

Lời giải câu 1
Số cách lấy ra $2$ bi là $\mathrm{C}^2_7=21.$

Câu 2. CHÈN HÌNH CÂU 2
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(CC'D'D)$ là
A. $2a$.
B. $3a$.
C. $a\sqrt{2}$.
D. $a$.

Lời giải câu 2
{ Ta có $AD \perp (CC'D'D)$ nên khoảng cách từ $A$ đến $(CC'D'D)$ là $AD=a$. }

Câu 3. CHÈN HÌNH CÂU 3
{ Cho hàm số $y = f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left(0; 1\right)$.
B. $\left(-\infty; - 1\right)$.
C. $\left(-1; 1\right)$.
D. $\left(-1; 0\right)$.
}

Lời giải câu 3
Hàm số đồng biến trên khoảng nào thì đồ thị có hướng đi lên trên khoảng đó.\\ Dựa vào đồ thị đã cho, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;0)$.

Câu 4. Cho hàm số $y=f(x)$ có $\lim\limits_{x \to +\infty} f\left(x\right)=0$ và $\lim\limits_{x \to 0^+} f\left(x\right)=+\infty$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị của hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị của hàm số đã cho có một tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang.
C. Đồ thị của hàm số đã cho có cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
D. Đồ thị của hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.

Lời giải câu 4
$\bullet$ Vì $\lim\limits_{x \to +\infty} f\left(x\right)=0$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=0$.\\ $\bullet$ Vì $\lim\limits_{x \to 0^+} f\left(x\right)=+\infty$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=0$.

Câu 5. Một người gửi tiết kiệm số tiền $80000000$ đồng với lãi suất là $6,9 \%$/năm. Biết rằng tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng $5$ năm người đó có rút được cả gốc và lãi số tiền gần với con số nào nhất sau đây?
A. $116570000$ đồng.
B. $107667000$ đồng.
C. $105370000$ đồng.
D. $111680000$ đồng.

Lời giải câu 5
Số tiền cả gốc và lãi của người đó nhận sau $5$ năm là $T_5=80000000(1+0.069)^5=111680799.2$ đồng.

Câu 6. CHÈN HÌNH CÂU 6
{ Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A. $y = \dfrac{2x - 1}{x - 1}$.
B. $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$.
C. $y = x^4 + x^2 +1$.
D. $y = x^3 - 3x - 1$.
}

Lời giải câu 6
Đường cong có đường tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$ nên nó không thể là đồ thị của hàm đa thức. Ta xét các trường hợp sau: Xét $y=\dfrac{2x-1}{x-1}$, có\\ $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{2x-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2x-1}{x-1}=2\Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Do đó đường cong trên không thể là đồ thị của hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x-1}$. Xét $y=\dfrac{x+1}{x-1}$, có\\ $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{x+1}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x+1}{x-1}=1\Rightarrow y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.\\ $\lim\limits_{x\to 1^{+}}\dfrac{x+1}{x-1}=+\infty$ và $\lim\limits_{x\to 1^{-}}\dfrac{x+1}{x-1}=-\infty \Rightarrow x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.\\ Do đó đường cong trên là đồ thị của hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-1}$.

Câu 7. Tập nghiệm $S$ của phương trình $2^{x^2-2x+1}=2$ là
A. $S=\{0\}$.
B. $S=\{0;2\}$.
C. $S=\{0;-2\}$.
D. $S=\{2;-2\}$.

Lời giải câu 7
Ta có $2^{x^2-2x+1}=2\Leftrightarrow x^2-2x+1=1\Leftrightarrow x^2-2x=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=0\\&x=2. \end{aligned}\right.$

Câu 8. Tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^2\mathrm{\,d}x$ bằng
A. $4$.
B. $0$.
C. $1$.
D. $2$.

Lời giải câu 8
Ta có $I=\displaystyle\int\limits_0^2\mathrm{\,d}x=x\bigg|_0^2=2$.

Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^3+x+1$ là
A. $3x^2+C$.
B. $\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^2}{x}+C$.
C. $\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^2}{2}+x+C$.
D. $x^4+\dfrac{x^2}{2}+x+C$.

Lời giải câu 9
$\displaystyle \int f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle \int (x^3+x+1)\mathrm{\,d}x=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^2}{2}+x+C$.

Câu 10. CHÈN HÌNH CÂU 10
{ Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức $z = - 1 + 2i$?
A. $N$.
B. $P$.
C. $M$.
D. $Q$.
}

Lời giải câu 10
Vì $z=-1+2i$ nên điểm biểu diễn của số phức $z$ có tọa độ $(-1;2)$.

Câu 11. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng $\Delta\colon \left\{\begin{aligned}&x=1+t\\&y=2-t\\&z=t \end{aligned}\right. (t\in \mathbb{R})$?
A. $M\left(0;-3;-1\right)$.
B. $M\left(3;0;2\right)$.
C. $M\left(2;3;1\right)$.
D. $M\left(6;-3;2\right)$.

Lời giải câu 11
Cho $t=2\Rightarrow \left\{\begin{aligned}&x=1+2=3\\&y=2-2=0\\&z=2. \end{aligned}\right.$

Câu 12. Thể tích của khối lập phương cạnh $2a$ bằng
A. $8a^3$.
B. $2a^3$.
C. $a^3$.
D. $6a^3$.

Lời giải câu 12
Thể tích của khối lập phương cạnh $2a$ bằng $(2a)^3=8a^3$.

Câu 13. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;3)$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ là điểm
A. $P(1;0;0)$.
B. $N(1;2;0)$.
C. $Q(0;2;0)$.
D. $M(0;0;3)$.

Lời giải câu 13
Hình chiếu vuông góc của điểm $A(1;2;3)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ là điểm $N(1;2;0)$.

Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): z - 2x + 3 = 0$. Một véc-tơ pháp tuyến của $(P)$ là
A. $\overrightarrow{n} = (2; 0; - 1)$.
B. $\overrightarrow{u} = (0; 1; - 2)$.
C. $\overrightarrow{v} = (1; - 2; 3)$.
D. $\overrightarrow{w} = (1; -2; 0)$.

Lời giải câu 14
Viết lại $(P): 2x - z - 3 = 0$ suy ra $\overrightarrow{n} = (2; 0; - 1)$.

Câu 15. Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu?
A. $x^2+y^2+z^2-x+1=0$.
B. $x^2+y^2+z^2-6x+9=0$.
C. $x^2+y^2+z^2+9=0$.
D. $x^2+y^2+z^2-2=0$.

Lời giải câu 15
Ta có $x^2+y^2+z^2-2=0 \Leftrightarrow (x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=\left(\sqrt{2}\right)^2$. Mặt cầu có tâm $O(0;0;0)$, bán kính $R=\sqrt{2}$.

Câu 16. Gọi $R$, $l$, $h$ lần lượt là bán kính đáy, độ dài đường sinh, chiều cao của hình nón $(N)$. Diện tích xung quanh $S_{xq}$ của hình nón là
A. $S_{xq}=\pi Rh$.
B. $S_{xq}=2\pi Rh$.
C. $S_{xq}=2\pi Rl$.
D. $S_{xq}=\pi Rl$.

Lời giải câu 16
Công thức tính diện tích xung quanh $S_{xq}$ của hình nón là $S_{xq}=\pi Rl$.

Câu 17. Cho hình nón có bán kính đáy bằng $a$ và độ dài đường sinh bằng $2a$. Diện tích xung quanh của hình nón bằng
A. $2\pi a^2$.
B. $2a^2$.
C. $3\pi a^2$.
D. $4\pi a^2$.

Lời giải câu 17
Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{xq}=\pi rl=\pi a\cdot2a=2\pi a^2$.

Câu 18. Lớp 11B có $20$ học sinh gồm $12$ nữ và $8$ nam. Cần chọn ra $2$ học sinh của lớp đi lao động. Tính xác suất để chọn được $2$ học sinh trong đó có cả nam và nữ.
A. $\dfrac{14}{95}$.
B. $\dfrac{48}{95}$.
C. $\dfrac{33}{95}$.
D. $\dfrac{47}{95}$.

Lời giải câu 18
Số cách chọn $2$ trong số $20$ học sinh là $\mathrm{C}_{20}^2 = 190 \Rightarrow \mathrm{n}(\Omega )= 190$.\\ Gọi $A$ là biến cố \lq \lq $2$ học sinh được chọn có cả nam và nữ \rq \rq. \\ Ta có $n(A)=\mathrm{C}_8^1 \cdot \mathrm{C}_{12}^1 = 96$.\\ Vậy xác suất của biến cố $A$ là $\mathrm{P} (A) = \dfrac{\mathrm{n} (A)}{\mathrm{n}(\Omega)} = \dfrac{48}{95}$.

Câu 19. Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ biết $u_1= - 5$, $d=2$. Số $93$ là số hạng thứ bao nhiêu?
A. $50$.
B. $100$.
C. $44$.
D. $75$.

Lời giải câu 19
Ta có $u_n=u_1 + (n - 1)d \Rightarrow 93= - 5 + (n - 1). 2\Rightarrow n - 1=49\Rightarrow n=50$.

Câu 20. CHÈN HÌNH CÂU 20
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$ Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a.$ Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha.$ Khi đó $\tan\alpha$ bằng
A. $2$.
B. $2\sqrt{2}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.

Lời giải câu 20
{ Ta có $AC=a\sqrt{2}.$\\ Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A\Rightarrow \tan\alpha= \dfrac{SA}{AC}=\dfrac{2a}{a\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$ }

Câu 21. CHÈN HÌNH CÂU 21
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $y'=f'(x)=-x^2-3x+10$. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( - \infty; -\dfrac{3}{2} \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( - \dfrac{3}{2}; + \infty \right)$.
B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty;-5 \right)$ và $(2;+\infty )$, nghịch biến trên khoảng $(-5;2)$.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( - \dfrac{3}{2};+\infty \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( - \infty; - \dfrac{3}{2}\right)$.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-5;2)$ nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty;-5)$ và $(2;+\infty )$.

Lời giải câu 21
$f'(x)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=2\\&x=-5. \end{aligned}\right.$\\ Hàm số đồng biến trên khoảng $(-5;2)$; nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty;-5)$ và $(2;+\infty )$.

Câu 22. CHÈN HÌNH CÂU 22
Tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = - x^3 - 6x^2 + \left(4m - 9\right)x + 4$ nghịch biến trên khoảng $\left(- \infty; - 1\right)$ là
A. $\left(- \infty; 0\right]$.
B. $\left[-\dfrac{3}{4}; +\infty\right)$.
C. $\left(- \infty; -\dfrac{3}{4}\right]$.
D. $\left[0; +\infty \right)$.

Lời giải câu 22
Ta có $y'=-3x^2-12x+4m-9$. \\ Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-1)$ khi và chỉ khi $y'\le 0$, $\forall x\in (-\infty;-1)$ $\Leftrightarrow -3x^2-12x+4m-9\le 0\Leftrightarrow 4m\le 3x^2+12x+9$, $\forall x\in (-\infty;-1)$. Đặt $g(x)=3x^2+12x+9\Rightarrow g'(x)=6x+12$. Giải $g'(x)=0\Leftrightarrow x=-2$.\\ Bảng biến thiên của hàm số $g(x)$ trên $(-\infty;-1)$. Dựa vào bảng biến thiên suy ra $4m\le g(x)$, $\forall x\in (-\infty;-1)\Leftrightarrow 4m\le -3\Leftrightarrow m\le -\dfrac{3}{4}$.

Câu 23. CHÈN HÌNH CÂU 23
Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y=x^3-6x^2+9x$ là
A. $(1;4)$.
B. $(3;0)$.
C. $(0;3)$.
D. $(4;1)$.

Lời giải câu 23
Hàm số $y=x^3-6x^2+9x$ có tập xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R}$.\\ Ta có $y'=3x^2-12x+9$ và $y'=0$ có hai nghiệm $x=1$, $x=3$.\\ Bảng biến thiên Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số $y=x^3-6x^2+9x$ là $(1;4)$.

Câu 24. CHÈN HÌNH CÂU 24
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=x^2(x-1)(x+2)^3(2-x)$ $\forall x\in\mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng
A. $2$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $7$.

Lời giải câu 24
Ta có $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=0\\& x=1\\& x=-2\\& x=2. \end{aligned}\right.$\\ Bảng xét dấu Suy ra hàm số có ba điểm cực trị.

Câu 25. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $f(x)=-x^3+2(2m-1)x^2-(m^2-8)x$ đạt cực tiểu tại điểm $x=-1$.
A. $m=-9$.
B. $m=-2$.
C. $m=1$.
D. $m=3$.

Lời giải câu 25
Ta có $\mathscr{D}=\mathbb{R}$ và $y'=-3x^2+4(2m-1)x-m^2+8,\,y''=-6x+4(2m-1)$.\\ Để $x=-1$ là điểm cực tiểu của hàm số khi $\left\{\begin{aligned}&y'(-1)=0\\&y''(-1)>0. \end{aligned}\right.$\\ Mà $y'(-1)=0\Leftrightarrow m^2+8m-9=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&m=1\\&m=-9. \end{aligned}\right.$\\ Với $m=1$ ta có $y''(-1)>0$ (nhận).\\ Với $m=-9$ ta có $y''(-1)< 0$ (loại).

Câu 26. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)=\dfrac{x+4}{x-2}$ trên đoạn $[3;4]$ là
A. $7$.
B. $-6$.
C. $3$.
D. $4$.

Lời giải câu 26
Xét trên $[3;4]$.\\ Ta có $y'=\dfrac{-6}{(x-2)^2}< 0,\forall x\in [3;4]$.\\ $\Rightarrow y$ giảm trên $[3;4]$\\ $\Rightarrow \min\limits_{[3;4]} y=f(4)=4$.

Câu 27. CHÈN HÌNH CÂU 27
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y=f'(x)$ trên $\mathbb{R}$ như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề nào đúng? {
A. Hàm số $y=f(x)$ có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
B. Hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực đại và hai điểm cực tiểu.
C. Hàm số $y=f(x)$ có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu.
D. Hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
}

Lời giải câu 27
Dựa vào đồ thị $y= f'(x)$ ta thấy $\exists\, x_1$, $x_2$ với $0< x_1< x_2$ để $f'(0)= f'(x_1)= f'(x_2)= 0$. Trong đó Khi qua điểm $x=0$, đạo hàm $f'(x)$ không đổi dấu nên hàm số không đạt cực trị tại $x=0$. Khi qua điểm $x=x_1$, đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=x_1$. Khi qua điểm $x=x_2$, đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=x_1$.

Câu 28. Tìm số giao điểm của đường cong $y=x^3-2x^2+2x+1$ và đường thẳng $y=1-x$.
A. $1$.
B. $3$.
C. $0$.
D. $2$.

Lời giải câu 28
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là $$x^3-2x^2+2x+1=1-x \Leftrightarrow x^3-2x^2+3x=0 \Leftrightarrow x=0.$$ Vì phương trình trên có đúng một nghiệm thực nên hai đường cong cắt nhau tại đúng một điểm.

Câu 29. CHÈN HÌNH CÂU 29
Phương trình $x^{4}-8x^{2}+3=m$ có bốn nghiệm phân biệt khi
A. $-13< m< 3$.
B. $m\leq 3$.
C. $m>-13$.
D. $-13\leq m\leq 3$.

Lời giải câu 29
Xét hàm số $y=x^{4}-8x^{2}+3$, ta có $y'=4x^{3}-16x$.\\ $y'=0\Rightarrow x=0,\ x=\pm 2$. Ta có bảng biến thiên Để phương trình $x^{4}-8x^{2}+3=m$ có bốn nghiệm phân biệt thì $-13< m< 3$.

Câu 30. Kí hiệu $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2x-x^2$ và $y=0$. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng $(H)$ khi nó quay quanh $Ox$.
A. $V=\dfrac{16\pi}{15}$.
B. $V=\dfrac{17\pi}{15}$.
C. $V=\dfrac{18\pi}{15}$.
D. $V=\dfrac{19\pi}{15}$.

Lời giải câu 30
Phương trình hoành độ giao điểm $2x-x^2=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0 \\&x=2. \end{aligned}\right.$\\ Thể tích của vật thể bằng $V=\pi \displaystyle\int \limits_0^2 \left(2x-x^2\right)^2 \mathrm{\,d}x =\pi\left(\dfrac{4x^3}{3}-x^4+\dfrac{x^5}{5}\right)\Bigg|_0^2 =\dfrac{16\pi }{15}.$

Câu 31. Tính giá trị của biểu thức $A=8^{\log_2 3}+9^{\tfrac{1}{\log_2 3}}$.
A. $A=31$.
B. $A=5$.
C. $A=11$.
D. $A=17$.

Lời giải câu 31
$A=8^{\log_2 3}+9^{\tfrac{1}{\log_2 3}}=\left(2^{\log_2 3}\right)^3 +\left(3^{\log_3 2}\right)^2=3^3+2^2=31.$

Câu 32. Tìm tập xác định $\mathscr{D}$ của hàm số $y=\left(x^2+x-2\right)^{-3}$.
A. $\mathscr{D}=\left({0;+\infty}\right)$.
B. $\mathscr{D}=\mathbb{R}$.
C. $\mathscr{D}=\left(-\infty;2\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.
D. $\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{-2;1\right\}$.

Lời giải câu 32
Hàm số xác định khi: $x^2+x-2\ne 0\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& x\ne 1 \\ & x\ne -2 \end{aligned}\right.$.\\ Vậy tập xác định của hàm số là: $\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{-2;1\right\}$.

Câu 33. Phương trình $4^{2x+3}=8^{4-x}$ có nghiệm là
A. $x=\dfrac{6}{7}$.
B. $x=\dfrac{2}{3}$.
C. $x=\dfrac{4}{5}$.
D. $x=2$.

Lời giải câu 33
Ta có $$4^{2x+3}=8^{4-x} \Leftrightarrow 2^{4x+6}=2^{12-3x} \Leftrightarrow 4x+6=12-3x \Leftrightarrow 7x=6 \Leftrightarrow x=\dfrac{6}{7}.$$

Câu 34. Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $4^{x + \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2^x + 2= 0$.
A. $S = \{-1;1\}$.
B. $S = \{-1\}$.
C. $S = \{1\}$.
D. $S =(-1;1)$.

Lời giải câu 34
Ta có$4^{x + \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2^x + 2= 0 \Leftrightarrow 2\cdot 2^{2x}- 5\cdot 2^x + 2= 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&2^x = 2\\ &2^x = \dfrac{1}{2} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x = 1\\ & x = -1. \end{aligned}\right.$

Câu 35. Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x^2-2x}< 27$ là
A. $(-\infty;-1)$.
B. $(3;+\infty)$.
C. $(-1;3)$.
D. $(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)$.

Lời giải câu 35
Ta có$3^{x^{2}-2x}< 27\Leftrightarrow 3^{x^{2}-2x}< 3^{3}\Leftrightarrow x^{2}-2x< 3\Leftrightarrow x^{2}-2x-3< 0\Leftrightarrow -1< x< 3$.

Câu 36. Nếu $\displaystyle\int\limits_1^2 f(x) \mathrm{\, d}x=3$, $\displaystyle\int\limits_2^5 f(x) \mathrm{\, d}x=-1$ thì $\displaystyle\int\limits_1^5 f(x) \mathrm{\, d}x$ bằng
A. $-2$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.

Lời giải câu 36
Ta có $\displaystyle\int\limits_1^5 f(x) \mathrm{\, d}x= \displaystyle\int\limits_1^2 f(x) \mathrm{\, d}x+ \displaystyle\int\limits_2^5 f(x) \mathrm{\, d}x= 3-1= 2$.

Câu 37. Tích phân $\displaystyle\int\limits_0^1 {\dfrac{\mathrm{\,d}x}{\sqrt{3x+1}}}$ bằng
A. $\dfrac{4}{3}$.
B. $\dfrac{3}{2}$.
C. $\dfrac{1}{3}$.
D. $\dfrac{2}{3}$.

Lời giải câu 37
Đặt $t=\sqrt{3x+1}\Rightarrow t^2=3x+1\Rightarrow 2t\mathrm{\,d}t=3\mathrm{\,d}x\Rightarrow \dfrac{2t}{3}\mathrm{\,d}t=\mathrm{\,d}x$.\\ Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1$; $x=1\Rightarrow t=2$. Khi đó $$\displaystyle\int\limits_0^1 {\dfrac{\mathrm{\,d}x}{\sqrt{3x+1}}}=\dfrac{2}{3}\displaystyle\int\limits_1^2 {\dfrac{1}{t}\cdot t\mathrm{\,d}t}=\dfrac{2}{3}\displaystyle\int\limits_1^2 {\mathrm{\,d}t}={\dfrac{2}{3}t}\bigg|_1^2=\dfrac{2}{3}.$$

Câu 38. Cho $\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x = F(x)+C$. Khi đó với $a\neq 0$ thì $\displaystyle\int f(ax+b)\mathrm{\,d}x$ bằng
A. $\dfrac{1}{2a}F(ax+b)+C$.
B. $aF(ax+b)+C$.
C. $\dfrac{1}{a}F(ax+b)+C$.
D. $F(ax+b)+C$.

Lời giải câu 38
Với $a\neq 0$ ta có $$\displaystyle\int f(ax+b)\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int f(ax+b)\cdot \dfrac{1}{a} \cdot \mathrm{\,d}(ax+b) = \dfrac{1}{a}\displaystyle\int f(ax+b)\mathrm{\,d}(ax+b) = \dfrac{1}{a}F(ax+b)+C.$$

Câu 39. CHÈN HÌNH CÂU 39
{Cho hình $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2-4x+4$, đường cong $y=x^3$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích $S$ của hình $(H)$.
A. $S=\dfrac{11}{2}$.
B. $S=\dfrac{7}{12}$.
C. $S=\dfrac{20}{3}$.
D. $S=\dfrac{1}{2}$.
}

Lời giải câu 39
Ta có: $x^3=x^2-4x+4\Leftrightarrow (x-1)(x^2+4)=0\Leftrightarrow x=1$.\\ Diện tích của hình $(H)$ là $$\begin{eqnarray*} S&=&\displaystyle\int\limits_0^1{x^3 \mathrm{\,d}x}+\displaystyle\int\limits_1^2(x^2-4x+4) \mathrm{\,d}x\\ &=&\displaystyle\int\limits_0^1{x^3 \mathrm{\,d}x}+\displaystyle\int\limits_1^2 (x-2)^2 \mathrm{\,d}(x-2)\\ &=&\dfrac{x^4}{4}\bigg|_0^1+ \dfrac{(x-2)^3}{3}\bigg|_1^2=\dfrac{7}{12}. \end{eqnarray*}$$

Câu 40. Cho số phức $z$ thỏa mãn $(2 + i)z = 9 - 8i$. Mô-đun của số phức $w = z + 1 +i$ bằng
A. $3$.
B. $5$.
C. $6$.
D. $4$.

Lời giải câu 40
Ta có $(2 + i)z = 9 - 8i \Leftrightarrow z = \dfrac{9 - 8i}{2 + i} = 2-5i$. \\ Do đó $w = z + 1 + i = 3 - 4i$. \\ Vậy $|w| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$.

Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn điều $|z+2-i|=2$ là
A. đường tròn $(x+2)^2+(y-1)^2=4$.
B. đường tròn tâm $I(2;-1)$ và bán kính $R=2$.
C. đường thẳng $x-y-2=0$.
D. đường thẳng $x+y-2=0$.

Lời giải câu 41
Giả sử $z=x+yi\, (x,y \in \mathbb{R})$. Khi đó $|z+2-i|=2 \Leftrightarrow (x+2)^2+(y-1)^2=4.$\\ Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn điều $|z+2-i|=2$ là đường tròn $(x+2)^2+(y-1)^2=4$.

Câu 42. CHÈN HÌNH CÂU 42
{ Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z=x+yi$ là nửa hình tròn tâm $O(0;0)$ bán kính $R=2$ (phần tô đậm, kể cả đường giới hạn) như hình bên. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào \textbf{đúng?}
A. $x\ge0$ và $|z|=\sqrt{2}$.
B. $y\ge0$ và $|z|=2$.
C. $x\ge0$ và $|z|\le2$.
D. $y\ge0$ và $|z|\le2$.
}

Lời giải câu 42
Dựa vào hình vẽ trên ta thấy số phức $z$ có phần thực không âm và $|z|\le2$.

Câu 43. Biết phương trình $z^2 + az + b = 0$ ($a, b \in \Bbb{R}$) có một nghiệm phức là $z_0 = 1 + 2i$, tìm $a, b$.
A. $\left[\begin{aligned}& a = -2\\ &b = 5 \end{aligned}\right.$.
B. $\left\{\begin{aligned}& a = -2\\ &b = 5 \end{aligned}\right.$.
C. $\left[\begin{aligned}&a = 5\\ & b = - 2 \end{aligned}\right.$.
D. $\left\{\begin{aligned}& a = 5\\ &b = - 2 \end{aligned}\right.$.

Lời giải câu 43
\textbf{Nhận xét:} Phương trình bậc 2 luôn có 2 nghiệm phức liên hợp. \\ Do đó, 2 nghiệm của phương trình đã cho là $z_1 = 1 + 2i$ và $z_2 = 1 - 2i$. \\ Ta có $\left\{\begin{aligned}&z_1 + z_2 = -a\\ & z_1.z_2 = b \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned}&a = - 2\\&b = 5 \end{aligned}\right.$

Câu 44. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1;2;1)$ và $B(2;1;0)$. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $A$ và vuông góc với $AB$ có phương trình là
A. $3x-y-z-6=0$.
B. $3x-y-z+6=0$.
C. $x+3y+z-5=0$.
D. $x+3y+z-6=0$.

Lời giải câu 44
Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $A(-1;2;1)$ và nhận véc-tơ $\vec{AB}=(3 ; - 1 ; - 1)$ làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là $$3(x + 1)-(y-2)-(z-1)=0\Leftrightarrow 3x-y-z+6=0.$$

Câu 45. CHÈN HÌNH CÂU 45
Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho theo $a$, biết $A'B=2a$.
A. $V=2\sqrt{3}a^3$.
B. $V=a^3$.
C. $V=\sqrt{3}a^3$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{3}a^3}{3}$.

Lời giải câu 45
{Diện tích đáy lăng trụ là $a^2$. \\ Chiều cao của lăng trụ là $$AA'=\sqrt{A'B^2-BA^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}.$$ Vậy thể tích lăng trụ là $V=a^3\sqrt{3}$. }{ }

Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+9=0$. Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu là
A. $I(1;-2;3)$ và $R=5$.
B. $I(-1;2;-3)$ và $R=5$.
C. $I(1;-2;3)$ và $R=\sqrt{5}$.
D. $I(-1;2;-3)$ và $R=\sqrt{5}$.

Lời giải câu 46
Phương trình mặt cầu tương đương với $$x^2+y^2+z^2-2\cdot 1\cdot x-2\cdot(-2)\cdot y-2\cdot 3\cdot z+9=0.$$ Từ đó, suy ra tọa độ tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $R=\sqrt{1^2+(-2)^2+3^2-9}=\sqrt{5}$.

Câu 47. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left(1;1;-1\right)$ và $B\left(2;3;2\right)$. Véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là
A. $\left(1;2;3\right)$.
B. $\left(- 1;- 2;3\right)$.
C. $\left(3;5;1\right)$.
D. $\left(3;4;1\right)$.

Lời giải câu 47
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-1;3-1;2+1)=(1;2;3)$.

Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng đi qua $M(-2;1;3)$, song song với mặt phẳng $(P) \colon 2x-y-2z+5=0$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta \colon \left\{\begin{aligned}&x=1+3t\\&y=2t\\&z=-1. \end{aligned}\right.$
A. $\left\{\begin{aligned}&x=2+4t \\& y=-5-6t \\& z=10+7t \end{aligned}\right.$.
B. $\left\{\begin{aligned}&x=-2+3t \\& y=1+2t \\& z=3 \end{aligned}\right.$.
C. $\left\{\begin{aligned}&x=-2-4t \\& y=-1+6t \\& z=3-7t \end{aligned}\right.$.
D. $\left\{\begin{aligned}&x=-2+4t \\& y=1+6t \\& z=3+7t \end{aligned}\right.$.

Lời giải câu 48
Đường thẳng $\Delta$ có VTCP $\overrightarrow{u}_{\Delta}=(3;2;0)$, mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n}_{(P)}=(2;-1;-2)$.\\ Vì đường thẳng $d$ song song với $(P)$ và vuông góc với $\Delta$ nên đường thẳng $d$ có VTCP là $\overrightarrow{u}_d=\left[\overrightarrow{u}_{\Delta},\overrightarrow{n}_{(P)}\right]=(4;-6;7)$.\\ Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(-2;1;3)$ nên có phương trình là $\left\{\begin{aligned}&x=-2+4t\\&y=1-6t\\&z=3+7t. \end{aligned}\right.$\\ Trong phương trình đường thẳng $d$, chọn $t=1$, suy ra $d$ đi qua điểm $(2;-5;10)$.\\ Vậy nên ta có thể viết $d\colon\left\{\begin{aligned}&x=2+4t \\& y=-5-6t \\& z=10+7t. \end{aligned}\right.$

Câu 49. Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại gốc tọa độ $O$. Biết $A(2;0;0)$, $B(0;1;0)$, $S\left(0;0;2\sqrt{2}\right)$. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Góc giữa đường thẳng $SA$ và $BM$ bằng
A. $30^\circ$.
B. $60^\circ$.
C. $150^\circ$.
D. $120^\circ$.

Lời giải câu 49
Do $O$ là trung điểm của $AC$ nên $C(-2;0;0)$, mà $M$ là trung điểm của $SC$ nên $M\left( -1;0;\sqrt{2} \right)$. Suy ra $\overrightarrow{MB}=\left( 1;1;-\sqrt{2} \right)$ và $\overrightarrow{SA}=\left( 2;0;-2\sqrt{2} \right)$. Do đó $$\cos (SA,BM)=\dfrac{\left| \overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{MB} \right|}{SA\cdot BM}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$ Vậy $(SA,BM)=30^\circ$.

Câu 50. Cho hình lập phương có cạnh là $a$ và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi $S_1$ là diện tích $6$ mặt của hình lập phương, $S_2$ là diện tích xung quanh của hình trụ. Hãy tính tỉ số $\dfrac{S_2}{S_1}$.
A. $\dfrac{S_2}{S_1}=\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{S_2}{S_1}=\dfrac{\pi}{2}$.
C. $\dfrac{S_2}{S_1}=\pi$.
D. $\dfrac{S_2}{S_1}=\dfrac{\pi}{6}$.

Lời giải câu 50
Tổng diện tích $6$ mặt của hình lập phương cạnh $a$ là $S_1=6a^2$.\\ Vì đáy của hình trụ nội tiếp hình vuông cạnh $a$ nên có bán kính là $r=\dfrac{a}{2}$ và chiều cao $h=a$, suy ra diện tích xung quanh của hình trụ là $S_2=2\pi rh=\pi a^2$.\\ Vậy $\dfrac{S_2}{S_1}=\dfrac{\pi}{6}$.

   Số câu đúng   

Số báo danh  

Họ và tên     Lớp    

Bạn đã nộp bài!