Đề thi HSG tỉnh Kiên Giang 2015 - 2016

bùi sang thọ | 16.9.15 | Đề thi |

MathTD giới thiệu đến các bạn học sinh đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh năm học 2015 - 2016 của tỉnh Kiên Giang. Kỳ thi được diễn ra trong 2 ngày (11 - 12/09/2015) gồm 2 vòng thi. Đề thi vòng 1 bao giờ cũng dễ thở nhằm khuyến khích các trường tham gia dự thi, còn vòng 2 mang tính phân loại cao.

ĐỀ VÒNG 1

Bài 1. (4.0 điểm)

Cho hàm số $y=\frac{2}{3}x^3+(m+1)x^2+(m^2+4m+1)x+1\quad (1), m$ là tham số thực.

1. Tìm $m$ để hàm số $(1)$ luôn đồng biến trên tập xác định của nó.
2. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $(1)$ có hai điểm cực trị với hoành độ $x_1, x_2$ thỏa mãn: $2x_1x_2-(x_1+x_2)+2=0$.

Bài 2. (4.0 điểm)

Giải phương trình sau trên tập số thực: $$1+2\cos^2\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \right )=\cos^2\left ( \frac{x}{3}+\frac{\pi}{6} \right )$$

Bài 3. (4.0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A(4;-2)$ và đường tròn $(C)$ có phương trình: $(x-3)^2+(y-2)^2=5$.

1. Tìm các điểm có tọa độ nguyên thuộc đường tròn $(C)$.
2. Tìm trên đường tròn $(C)$ điểm $B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$ ($O$ là gốc tọa độ).

Bài 4. (4.0 điểm)

Cho tứ diện $SABC$ có ba cạnh $SA, SB, SC$ đôi một vuông góc và $AC=2SB, BC=2SA$. Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $S$ lên các đường thẳng $AC, BC$ và $I$ là trung điểm đoạn $AB$. Chứng minh rằng:

1. Đường thẳng $SC$ vuông góc với đường thẳng $EF$.
2.  $\tan^2\alpha+\tan^2\beta+\frac{EF}{AB}=\frac{5}{4}$. Với $\alpha=\widehat{SCI}, \beta=\widehat{SCA}$.

Bài 5. (4.0 điểm)

Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x+y+z=1$. Chứng minh rằng: $$\frac{x^3-2x^2+x}{\sqrt{x}.(y+z)}+\frac{y^3-2y^2+y}{\sqrt{y}.(z+x)}+\frac{z^3-2z^2+z}{\sqrt{z}.(x+y)}\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

ĐỀ VÒNG 2

Bài 1. (5.0 điểm)

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x+y+z&=6\\ xy+yz-zx&=7\\ x^2+y^2+z^2&=14 \end{cases}$

Bài 2. (5.0 điểm)

Cho hàm số $f(x)=(x+m)^3+(x+n)^3-x^3; m, n$ là tham số thực.

Chứng minh rằng: với mọi $m, n$ thì phương trình $f(x)=0$ có đúng một nghiệm thực.

Bài 3. (5.0 điểm)

Năm điểm thứ tự $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ chia đường tròn bán kính $R$ thành 5 cung bằng nhau. Chứng minh rằng: $A_1A_2.A_1A_3=\sqrt{5}R^2$.

Bài 4. (5.0 điểm)

Tìm số tự nhiên $N$ có ba chữ số sao cho: Tổng các giai thừa ba chữ số của $N$ bằng $N$.