Một bài toán hay về cực trị

bùi sang thọ | 28.8.15 | Toán |

Đề bài: Cho hàm số $y=x^4-2mx^2+1$. Xác định $m$ để hàm số có ba điểm cực trị sao cho ba điểm cực trị này nội tiếp trong một đường tròn có bán kính bằng 1.

Lời giải:

• Buộc điều kiện hàm số có 3 cực trị $$m>0$$
• Tọa độ 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số $$A(0,1), B(-\sqrt{m},1-m^2), C(\sqrt{m},1-m^2)$$
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp được cho bởi định lý hàm sin là $$R=\dfrac{BC}{2\sin 2\alpha}=\dfrac{2\sqrt{m}}{4\sin \alpha\cos \alpha}$$ Tính toán trực tiếp ta được $$R=\dfrac{\sqrt{m}\left(m^4+m\right)}{2\sqrt{m}m^2}=\dfrac{m^3+1}{2m}$$
• Theo đề ta có $$R=1 \Longleftrightarrow \dfrac{m^3+1}{2m}=1\Longleftrightarrow m=1, m=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\; (m>0)$$

Một số bài toán khác

Bài 1: Cho hàm số $y=x^4-2m^2x^2+1$. Xác định $m$ để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.

Bài 2: Cho hàm số $y=x^4+2mx^2-3$. Xác định $m$ để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đường tròn ngoại tiếp.