bùi sang thọ | 28.8.15 |
Toán
|
1. Đối với hai số
Cho hai số $a\ge 0, b\ge 0$ ta có $$\dfrac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$$
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.
Ví dụ 1: Với hai số $a>0, b>0$ ta luôn có
$$\left ( a+b \right )\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \right )\ge 4$$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b$.
Hướng dẫn: Ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần
- Lần một cho hai số $a$ và $b$.
- Lần hai cho hai số $\dfrac{1}{a}$ và $\dfrac{1}{b}$
Sau đó nhân hai kết quả lại ta có điều cần chứng minh.
Từ kết quả trên ta suy ra bất đẳng thức sau:
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b}$$
Ví dụ 2: Cho $x, y, z$ là ba số dương thỏa mãn điều kiện $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$$
Chứng minh rằng $$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2x}\leq 1$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản $$\dfrac{1}{a+b}\le \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)$$ ta được:$$ \dfrac{1}{2x+y+z}=\dfrac{1}{(x+y)+(x+z)}\le $$ $$\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)\le \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\right] $$
$$\Longrightarrow \dfrac{1}{2x+y+z}\le \dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)$$. Tương tự ta được
$$\dfrac{1}{x+2y+z}\le \dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}\right), \dfrac{1}{x+y+2z}\le \dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z}\right)$$
Cộng ba bất đẳng thức này ta được
$$ \dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{4}\underbrace{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}_{=4}=1 $$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\dfrac{3}{4}$.
(còn tiếp)
