Bất đẳng thức Cauchy

bùi sang thọ | 28.8.15 | Toán |

Đây là bất đẳng thức mang tên nhà toán học người Pháp Augustin-Louis Cauchy (21.08.1789 - 23.05.1857). Trong sách giáo khoa Việt Nam hiện hành nó được gọi với cái tên Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân.

1. Đối với hai số

Cho hai số $a\ge 0, b\ge 0$ ta có $$\dfrac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$$
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.

Ví dụ 1: Với hai số $a>0, b>0$ ta luôn có
$$\left ( a+b \right )\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \right )\ge 4$$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b$.
Hướng dẫn: Ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần
- Lần một cho hai số $a$ và $b$.
- Lần hai cho hai số $\dfrac{1}{a}$ và $\dfrac{1}{b}$
Sau đó nhân hai kết quả lại ta có điều cần chứng minh.
Từ kết quả trên ta suy ra bất đẳng thức sau:
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b}$$
Ví dụ 2: Cho $x, y, z$ là ba số dương thỏa mãn điều kiện $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$$
Chứng minh rằng  $$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2x}\leq 1$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản $$\dfrac{1}{a+b}\le \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)$$ ta được: $$\dfrac{1}{2x+y+z}=\dfrac{1}{(x+y)+(x+z)}\le$$ $$\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)\le \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\right]$$
$$\Longrightarrow \dfrac{1}{2x+y+z}\le \dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)$$ . Tương tự ta được
$$\dfrac{1}{x+2y+z}\le \dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}\right), \dfrac{1}{x+y+2z}\le \dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z}\right)$$
Cộng ba bất đẳng thức này ta được
$$\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{4}\underbrace{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}_{=4}=1$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\dfrac{3}{4}$.

(còn tiếp)