Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Kiên Giang môn Toán diễn ra trong hai ngày (25/09/2014 - 26/09/2014) gồm hai vòng thi: Vòng 1 có các câu 1 - 4, vòng 2 có các câu 5 - 7. Kế tiếp là đề thi tuyển chọn đội tuyển dự thi HSG toàn quốc (hơi bị khó).
Đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh
$$ x+2\sqrt{5-x}=2\sqrt{x+2}+\sqrt{10+3x-x^2}-2 $$
Câu 2: Trong
mặt phẳng tọa độ, trên parabol $y=\frac{1}{2}x^2$ lấy các dãy điểm
$(A_n), (B_n)$ sao cho điểm $A_1$ có hoành độ dương và với mọi số nguyên
dương $n$, đường thẳng $A_nB_n$ có hệ số góc bằng $-\frac{1}{4}$ và
đường thẳng $B_nA_{n+1}$ có hệ số góc bằng $\frac{1}{5}$. Với mỗi số
nguyên dương $n$, ký hiệu $a_n$ và $b_n$ tương ứng là hoành độ của $A_n$
và $B_n$. Chứng minh rằng các dãy số $(a_n)$ và $(b_n)$ là các cấp số
cộng. Hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của mỗi cấp số cộng đó.
Câu 3: Cho
hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$;
$AB=2a, AD=2BC$. Mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$, cạnh $SC=a\sqrt{5}$, với $H$ là
trung điểm của cạnh $AB$. Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng
$(SHC)$ theo $a$.
Câu 4: Giải phương trình
$$ \cos^4x+\sin^4x+\dfrac{2}{\cos^4x}+\dfrac{2}{\sin^4x}=16+\dfrac{\sin 2x}{2} $$
Câu 5: Cho
$a, b, c$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$
P=\dfrac{a+3c}{a+2b+c}+\dfrac{4b}{a+b+2c}-\dfrac{8c}{a+b+3c} $$
Câu 6: Cho
tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\widehat{CAB}<\widehat{CBA}, O$ là
tâm đường tròn ngoại tiếp, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và các cạnh
$BC=a, AC=b, AB=c$. Chứng minh rằng nếu tam giác $BIO$ là tam giác vuông
thì: $$ \frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5} $$
Câu 7: Cho
$2014$ số thực $x_1,x_2,\ldots,x_{2014}$ thỏa
$\left|\sum\limits_{i=1}^{2014}x_i\right|>1$ và $\left|x_i\right|\le 1
(i=1,2,\ldots,2014)$. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $k$
sao cho
$$\left|\sum\limits_{i=1}^kx_i-\sum\limits_{i=k+1}^{2014}x_i\right|\le
1$$.
Câu 1: Giải hệ phương trình sau
Câu 5:
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq 2$ ta luôn có $$1<\sqrt[n]{n}<1+\dfrac{2}{\sqrt{n}}$$
b) Cho $x$ và $y$ là các số thực dương thỏa $x^3+y^3=x-y$. Chứng minh rằng $$x^2+4y^2<1$$
Câu 6: Trên các cạnh của một tam giác $ABC$ ta dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông $BCDE, ACFG$ và $BAHK$. Giả sử các điểm $P$ và $Q$ có tính chất: $FCDP$ và $EBKQ$ là các hình bình hành.
a) Chứng minh rằng: $\Delta CPF=\Delta ABC$ và $\Delta APC=\Delta ABQ$.
b) Tam giác $APQ$ vuông cân.
Câu 7:
a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình sau với các ẩn $x, y, z, t$
$$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{t^2}=1$$
b) Tìm tất cả các đa thức $f(x)$ với hệ số thực thỏa mãn $$\left ( x-2014 \right )^2f(x)=\left ( x-2016 \right )^2f(x+2)$$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Đề thi chọn đội tuyển thi Quốc gia
$$\left\{\begin{matrix}
x +\sqrt{x^2-2x+5}= 3y+\sqrt{y^2+4} \\
x^2 -y^2 -3x +3y+1 = 0
\end{matrix}\right.$$
x +\sqrt{x^2-2x+5}= 3y+\sqrt{y^2+4} \\
x^2 -y^2 -3x +3y+1 = 0
\end{matrix}\right.$$
Câu 2:
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left (3;1 \right ),
B\left ( -1;2 \right )$ và đường thẳng $(d):x-y=0$. $M$ là điểm di động
trên đường thẳng $(d)$ sao cho đường thẳng $MA$ cắt trục hoành tại điểm
$P$, đường thẳng $MB$ cắt trục tung tại điểm $Q$. Chứng minh rằng đường
thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 3: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào số nguyên dương $n$
$$S_n=\cos\dfrac{\pi}{2n+1}-\cos\dfrac{2\pi}{2n+1}+\cos\dfrac{3\pi}{2n+1}-\ldots+(-1)^n\cos\dfrac{n\pi}{2n+1}$$
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x+\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x}}$ với $x>0$
Câu 5:
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq 2$ ta luôn có $$1<\sqrt[n]{n}<1+\dfrac{2}{\sqrt{n}}$$
b) Cho $x$ và $y$ là các số thực dương thỏa $x^3+y^3=x-y$. Chứng minh rằng $$x^2+4y^2<1$$
Câu 6: Trên các cạnh của một tam giác $ABC$ ta dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông $BCDE, ACFG$ và $BAHK$. Giả sử các điểm $P$ và $Q$ có tính chất: $FCDP$ và $EBKQ$ là các hình bình hành.
a) Chứng minh rằng: $\Delta CPF=\Delta ABC$ và $\Delta APC=\Delta ABQ$.
b) Tam giác $APQ$ vuông cân.
Câu 7:
a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình sau với các ẩn $x, y, z, t$
$$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{t^2}=1$$
b) Tìm tất cả các đa thức $f(x)$ với hệ số thực thỏa mãn $$\left ( x-2014 \right )^2f(x)=\left ( x-2016 \right )^2f(x+2)$$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
HẾT
