Hôm nay mình xin giới thiệu đến các bạn Đề thi hết môn môn Hình học vi phân nâng cao K20 của thầy Lâm Quốc Anh. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích cho các bạn.
Câu 1: Chứng minh rằng với mọi $k$-tensor $T\in \tau^k(V)$ ta luôn có $\mathrm{Alt}\left(\mathrm{Alt}(T)\right)=T$.
Câu 2: Chứng minh rằng
a) Nếu $S\in\tau^k(V), T\in\tau^l(V)$ và $\mathrm{Alt}(S)=0$ thì $\mathrm{Alt}\left(S\otimes T\right)=\mathrm{\left(T\otimes S\right)}=0$.
b) $\mathrm{Alt}\left(\mathrm{Alt}\left(S\otimes T\otimes U\right)\right)=\mathrm{Alt}\left(S\otimes T\otimes U\right)=\mathrm{Alt}\left(S\otimes \mathrm{Alt}\left(T\otimes U\right)\right)$.
Câu 3: Giả sử trên $M$ cho tập hợp các tọa độ $\mathcal{C}$ sao cho,
a) Đối với mỗi $x\in M$ tồn tại $f\in \mathcal{C}$ và $f$ là hệ tọa độ trong lân cận của điểm $x$;
b) $\mathrm{det}\left(f^{-1}\circ g\right)^{'}>0$, bất kỳ $f, g \in \mathcal{C}$.
Chứng minh rằng khi đó trên $M$ có một định hướng duy nhất được bảo toàn với mọi $f \in \mathcal{C}$.
Câu 4: Giả sử ánh xạ $f\colon \mathbb{R}^n\longrightarrow \mathbb{R}^n$. Chứng minh rằng: Đồ thị $f$, $$ \mathrm{grph}f=\left\{\left(x,f(x)\right):x\in \mathbb{R}^n\right\}, $$ là một đa tạp $n$-chiều khi và chỉ khi $f$ là ánh xạ khả vi.
HẾT
